Классную штуку придумал для работы с тропами! Операция расщепления, называется. Похоже, перспективный ход. Всё думал, как бы пространство карты окучить. Нужно было вводить какую-то операцию, какое-то элементарное действие. И расщепление здесь очень подходит. Аналогии у него совершенно замечательные: деление клеток, распад атома, логические вилки - много чего. Хотя, аналогии пока не так уж важны.
Суть же в следующем.
Игнорируем пока исходный ландшафт. Это важно! Будем считать, что он никак не выражен - однородный во всех мыслимых направлениях и измерениях. Тишь да гладь. Рассмотрим пока только обратимые тропы (про необратимые надо еще подумать).
Возьмем простейшую карту из одной единственной обратимой тропы - кусок линии просто. Можно ходить по ней туда-сюда, из конца в конец. Любую "точку" тропы можно назначить началом - пройти от него в один конец, потом в другой и снова вернуться в начало. Маршрут замкнут.
Теперь расщепим тропу вдоль. Зафиксируем, например, две крайние точки (вроде как "полюсы" такие), а тропу между ним разделим вдоль и раздвинем в стороны, чтобы получилась окружность. Движение по окружности, как и по исходной линейной тропе, возможно в обе стороны.
Заметьте, что при расщеплении ничего противоестественного для карты не происходит. Ничего не поломалось, нигде не порвалось. Структура пространства карты сохранилась - тропа осталась точно такой же, как и была - замкнутой и обратимой. Обе карты относительно операции расщепления - совершенно изоморфны.
Добавим к операции расщепления обратную операцию - склеивание. Все сказанное выше о расщеплении будет справедливо и для склеивания. Можно из окружности получить линию, если зафиксировать "полюсы", а "боковые стороны" склеить в одну линию. Обе карты изоморфны относительно операции склеивания.
Итак, в пространстве карты у нас теперь задана одна обратимая операция расщепления/склеивания, сохраняющая структуру пространства. Уже можно работать!
Возьмем исходную простейшую карту с одной обратимой линейной тропой. Выберем любую точку в середине тропы и расщепим хвосты с одной и с другой стороны. Получим две окружности, две замкнутых тропы с одной общей точкой - по форме как "восьмерка". В этом случае можно сказать, что мы выполнили две последовательных операции расщепления - сначала один хвост расщепили, потом соседний.
Снова возвращаемся к исходной карте. Применим те же две операции к линейной тропе, но не последовательно - а параллельно. Поступим так. Фиксируем крайние точки, а тропу между ними расщепляем дважды. Получаем "пучок" из трех троп, стянутых к полюсам.
Таким образом, мы наметили в пространстве карты два независимых направления - последовательное и параллельное , вдоль которых может быть выполнена операция расщепления/склеивания. При этом итоговый рисунок троп, при "движении" по каждому из направлений, окажется различным. В первом случае (последовательное направление) мы получили "восьмерку", а во втором (параллельное направление) - "пучок". Обе карты изоморфны исходной карте - но друг от друга они отличаются.
Дальше нужно вводить какие-нибудь обозначения и придумать алгебру. Чтобы, например, написать короткую формулу (последовательность операций) для преобразования линейной тропы в карту ребер тэтраэдра, или еще во что-нибудь. И можно даже грубо наметить тотальную интерпретацию карты обратимых троп как пространства всех обратимых операций. А элементом такого пространства - обратимой тропой - является сама операция.
Подведу локальный итог. Все сказанное справедливо при одном критически важном условии: отсутствии каких-либо вмешательств или ограничений со стороны исходного ландшафта. Но в общем случае, когда все-таки рельеф у ландшафта есть - тогда, как я понимаю, пространство с тропной структурой может развернуться в "промежутках" между жесткими и монолитными кусками материнского ландшафта - в тихих и спокойных щелях на границе различных сред. Там, где раскрывается роза ветров, где скапливается звездная пыль, и зачинается брожение - там идет шевеление троп. Распадаются атомы, множатся клетки, шипит морская пена и разворачиваются хитрые сетки - ловушки из замкнутых троп.
